前言
加法和标量乘法的运算正在很多数学领域中都有使用。然而，如果不考虑领域的话，这些运算通常遵循着统一的代数法则。
因此，关于设计加法和标量乘法的数学系统的一般性定理可能也可应用在很多数学领域中。这种数学系统称为向量空间或线性空间。
3.1 定义和例子
从欧几里得空间谈起，假设一个$R^2$的欧几里得空间，介绍了在此空间上的标量乘法和加法的几何解释。
如果我们将$R^n$空间看成是所有元素都是实数的“n*1”矩阵的集合，那么用$R^{m×n}$表示所有$m×n$实矩阵的集合。
$R^{m×n}$上的加法运算和标量乘法运算遵循着特定的代数法则。这些法则构成了定义向量空间概念的公理。
3.1.1 向量空间的公理
定义：令V为一定义了加法和标量乘法运算的集合。这意味着，对V中的每一对元素$x和y$，可唯一对应于V中的一个元素$x+y$；且对每一个V中的元素$x$和每一个标量$\alpha$，可唯一对应于V中的一个元素$\alpha x$。如果集合V连同其上的加法和标量乘法运算满足下面的公理，则称为向量空间（vector space）。
A1. 对V中的任何$x和y，x+y=y+x$；
A2. 对V中的任何$x，y和z，(x+y)+z=x+(y+z)$；
A3. V中存在一个元素0,满足对任一的$x\in V有x+0=x$；
A4. 对每一$x\in V，存在V中的一个元素-x，满足x+（-x）=0$；
A5. 对任意标量$\alpha$的元素$x和y$，有$\alpha (x+y)=\alpha x+\alpha y$；
A6. 对任意标量$\alpha和\beta及x\in V，有(\alpha+\beta)x=\alpha x+\beta x$；
A7. 对任意标量$\alpha和\beta及x\in V，有(\alpha\beta)x=\alpha(\beta x)$；
A8. 对所有$x\in V，有1\cdot x=x$。
我们称集合V为向量空间的全集。它的元素称为向量（vector），并常用黑斜体字母表示。
定义中一个重要的部分是两个运算的封闭性。这个性质可以归纳如下：
- $若x\in V，且\alpha为标量，则\alpha x=V$；
- $若x,y\in V，则x+y=V$。
3.1.2 向量空间C[a,b]
3.1.3 向量空间$P^n$
3.1.4 向量空间的其他性质
定理3.1.1：若V为向量空间，且x是V的任一元素，则
- $0\cdot x=0$
- $x+y=0蕴含y=-x$（即x的加法逆元是唯一的）
- $(-1)x=-x$